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代数部分

第8节 整式的概念及加减法​

整式的概念​

  • 在有理式中没有除法运算或有除法运算但除式中不含字母的式子叫整式。
  • 整式包括单项式和多项式，其和、差、积仍为整式。

代数式的分类图​

  • 单项式（例：xy、13x2y\frac{1}{3}x^2y）
  • 多项式（例：x + y、13xy2+x2y\frac{1}{3}xy^2 + x^2y）
  • 分式（例：1x\frac{1}{x}、nm\frac{n}{m}）
  • 无理式（例：x\sqrt{x}、x+1\sqrt{x + 1}）

整式的加减运算​

几个整式相加减，有括号的先去括号，然后合并同类型。整式加法满足交换律、结合律和对乘法的分配律。

整式加减法的运算步骤：

  1. 去括号
  2. 合并同类项

注意：去括号时一定要注意符号的处理。

第9节 整式的乘法​

整式乘法运算​

整式乘法的运算步骤：

  1. 一个因式的每一项乘以另一个因式的每一项。
  2. 合并同类项。

注意：乘积中的任一项，都是每个因式多项式中各取一项相乘，再合并同类项后的结果。

基本公式​

  • (a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2（平方差公式）
  • (a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2（完全平方公式）
  • (a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2（完全平方公式）

重要公式​

  • (a+b)3=a3+b3+3a2b+3ab2(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2
  • (a−b)3=a3−b3−3a2b+3ab2(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3a^2b + 3ab^2
  • a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
  • a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)

第10节 整式除法​

整式除法运算​

被除式 ÷ 除式 = 商 + 余式
上述的一般形式是 F(x) ÷ f(x) = g(x) + r(x)
一般情况下常表示为：F(x) = f(x)g(x) + r(x)
当 F(x) 能被 f(x) 整除时，r(x) = 0，否则 r(x) 的次数至少要比 f(x) 的次数低一次。

第11节 因式定理、余式定理​

因式定理​

  • F(x) 含有因式 (x - a)（即整除），则 F(a) = 0
  • 推论：F(x) 含有因式 (ax - b)，则 F(ba\frac{b}{a}) = 0

余式定理​

  • F(x) 除以因式 (x - a)，所得的余式为 F(a)。
  • 推论：F(x) 除以因式 (ax - b)，所得的余式为 F(ba\frac{b}{a})
  • 因式定理为余式定理的特例（余数为 0 的情形）。

第12节 因式分解​

因式分解：把一个多项式表示成几个整式之积的形式，叫做多项式的因式分解。

方法一：提取公因式法。​

公因式：多项式中各项都含有的相同的因式，即各项中系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的乘积。

  • ax + bx + cx = x(a + b + c)

方法二：公式法（乘法公式从右到左，即为因式分解公式）​

  • a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)
  • a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2
  • a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

方法三：十字相乘法。​

x2+px+q=(x+a)(x+b)x^2 + px + q = (x + a)(x + b)
p = a + b, q = ab

ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)ax^2 + bx + c = (a_1x + c_1)(a_2x + c_2)
a=a1a2a = a_1a_2，c=c1c2c = c_1c_2，b=a1c2+a2c1b = a_1c_2 + a_2c_1

方法四：分组分解法。​

分组的原则：

  • 分组后，能产生公因式；
  • 分组后，能运用公式法；
  • 分组后，能应用十字相乘法。

第13节 分式的定义及性质​

分式定义：​

若 A、B 表示两个整式，且 B ≠\ne 0，B 中含有字母，则称 AB\frac{A}{B} 是分式。

基本性质​

分式的分子和分母同乘以（或除以）同一个不为零的式子，分式的值不变。

分式性质的应用​

分式的基本性质主要应用在分式的通分和约分上。分式运算的最终结果如果仍为分式，此分式必须通过约分化为最简分式。

AB=mAmB(m≠0)\frac{A}{B} = \frac{mA}{mB} (m \ne 0)

第14节 分式的加减法​

  • 同分母的几个分式相加减，分母不变，分子相加减。
  • 不同分母的几个分式相加减，取这几个分式分母的公分母作分母，通分后化为同分母分式的加减运算。
  • 分式加法满足交换律、结合律和对乘法的分配律。

第15节 分式的乘除法​

乘法运算​

几个分式相乘，分子乘分子，分母乘分母。分式的乘法运算满足交换律、结合律和对加减法的分配律。

除法运算​

两个分式相除，将除式的分子分母颠倒变为乘法运算。

第16节 分式方程​

分式方程的概念​

分母中含有未知数的方程。

分式方程的解法​

解分式方程的关键是去分母，将分式方程转换为整式方程。

分式方程增根的问题​

增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是使原方程中分母的值为 0，那么就会出现不适合方程的根（增根），要舍掉。

因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根。

第17节 一元一次方程及解法​

一元一次方程的概念​

含有一个未知数且未知数的最高次数为 1 的方程，称为一元一次方程。

标准形式​

ax + b = 0 (a ≠\ne 0)

形如 ax = b 的方程的解法：

  • 当 a ≠\ne 0 时，原方程的解为 x = b / a 。
  • 当 a = 0，b ≠\ne 0 时，不存在 x 值使等式成立，原方程无解。
  • 当 a = 0，b = 0 时，即 0x = 0，则原方程的解为全体实数。

第18节 二元一次方程（组）的解法​

二元一次方程的概念​

形如 ax + by = c（a、b、c 是常数），含有两个未知数，且未知数的次数是 1 次的方程，称为二元一次方程。

二元一次方程组的概念​

由两个二元一次方程组成的方程组，称为二元一次方程组。
这两个二元一次方程的公共解就是该二元一次方程组的解。

二元一次方程组的解法​

1. 代入消元法。​

{a1x+b1y=c1 (1)a2x+b2y=c2 (2)\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \space (1) \\ a_2x + b_2y = c_2 \space (2) \end{cases}

由 (1) 得：y=c1−a1xb1(b1≠0)y = \frac{c_1 - a_1x}{b_1} (b_1 \ne 0)，将其代入 (2)，消去 y，得到关于 x 的一元一次方程，可解。

2. 加减消元法​

{a1x+b1y=c1 (1)a2x+b2y=c2 (2)\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \space (1) \\ a_2x + b_2y = c_2 \space (2) \end{cases}

将 (1)×b2−(2)×b1(1) \times b_2 - (2) \times b_1，消去 y，得：(a1b2−a2b1)x=c1b2−c2b1(a_1b_2 - a_2b_1)x = c_1b_2 - c_2b_1，从中解出 x，再将 x 的值带入 (1) 或 (2)，求出 y 的值，从而得出方程组的解。

第19节 一元二次方程的解​

一元二次方程的概念​

含有一个未知数且未知数的最高次数为二次的方程称为一元二次方程。

标准形式​

ax2+bx=c=0ax^2 + bx = c = 0 （a、b、c 是常数，且 a≠0a \ne 0）

一元二次方程的解法​

1. 因式分解法​

把方程化成形如：a(x−x1)(x−x2)=0a(x - x_1)(x - x_2) = 0 的形式，则解为 x=x1x = x_1 或 x=x2x = x_2

例如：x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0 化为 (x+1)(x−3)=0(x + 1)(x - 3) = 0
它的解为：x1=−1,x2=3x_1 = -1, x_2 = 3

2. 公式法​

ax2+bx+c=0ax^2 + bx +c = 0 的求根公式：
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
注意：使用求根公式时要将方程化成一般形式。

第20节 一元二次方程的根与判别式​

一元二次方程的判别式​

ax2+bx+c=0ax^2 + bx +c = 0 的求根公式：
x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
其中 b2−4acb^2 - 4ac 叫做根的判别式，用 Δ\Delta 表示。

一元二次方程根与判别式的关系​

Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
Δ>0\Delta > 0 时，方程有两个不相等的实数根
Δ=0\Delta = 0 时，方程有两个相等的实数根
Δ<0\Delta < 0 时，方程没有实数根

第21节 韦达定理​

x1x_1 和 x2x_2 是方程 ax2+bx=c=0ax^2 + bx = c = 0 的两个根，则有：
x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}
x1⋅x2=cax_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

注意：应用韦达定理的前提是方程有根。

第22节 一般数列​

数列的概念​

依照某顺序排成一列的数。

表示方法​

a1,a2,a3,a4⋯an−1,ana_1, a_2, a_3, a_4 \cdots a_{n-1}, a_n 或者 {an}\begin{Bmatrix} a_n \end{Bmatrix}

通项及通项公式​

数列 {an}\begin{Bmatrix} a_n \end{Bmatrix}：a1,a2,a3,a4⋯an−1,ana_1, a_2, a_3, a_4 \cdots a_{n-1}, a_n 通项为 ana_n
通项公式：an=f(n)a_n = f(n)
要求能看出一些简单数列的通项公式。

通项公式 ana_n 和前 n 项和 SnS_n 之间的关系​

Sn=a1+a2+a3+⋯+an=∑i=1naiS_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \displaystyle\sum_{i=1}^n a_i
an={a1=S1 (n=1)Sn−Sn−1 (n≥2)a_n = \begin{cases} a_1 = S_1 \space (n = 1) \\ S_n - S_{n - 1} \space (n \ge 2) \end{cases}

第23节 等差数列基本概念及公式​

等差数列的概念​

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列；这个常数叫做这个等差数列的公差，记做 d。

等差数列通项公式​

an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n - 1)d

等差数列前 n 项和公式​

Sn=n(a1+an)2S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}

第24节 等比数列基本概念及公式​

等比数列的概念​

如果一个数列从第 2 项起，每一项与它前一项的商等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做这个等比数列的公比，记做 q 。

等比数列通项公式​

an=a1qn−1a_n = a_1q^{n-1}

等比数列前 n 项和公式​

当 q = 1 时，Sn=na1S_n = na_1
当 q ≠\ne 1 时，sn=a1(1−qn)1−qs_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}