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算术部分

第1节 数的概念与分类​

数的概念与分类​

  • 实数（R）：有理数 + 无理数
  • 有理数（Q）：整数 + 分数
  • 整数（Z）：正整数（Z+Z^+） + 负整数（Z−Z^-） + 零
  • 自然数（N）：正整数 + 零
  • 分数：有限小数 + 无限循环小数 + 百分数
  • 分数：正分数 +负分数
  • 无理数：无限不循环小数，例如：π、2\sqrt{2}、3\sqrt{3}

数轴​

  • 数轴上，右侧的数大于左侧的数。
  • 正数都大于零，负数都小于零。

相反数​

  • 只有符号不同的两个数，其中一个数是另外一个的相反数。
  • 零的相反数是零。
  • a、b 互为相反数，则 a + b = 0 。

第2节 有理数与无理数组合运算​

  • 有理数（+ - × ÷）有理数，仍为有理数。（此时要保证除法的分母有意义）
  • 无理数（+ - × ÷）无理数，有可能为无理数，也有可能为有理数。
  • 有理数（+ -）无理数 = 无理数，非零有理数（× ÷）无理数 = 无理数 。
  • ax + b = 0 模型，如果 a、b 是有理数，x 是无理数，那么有：a = 0、b = 0 。

第3节 整数部分与小数部分​

某数减去一个整数后，所得的差大于等于零且小于 1 ，那么此减数是该数的整数部分，差是小数部分。
例如：3.5 - 3 = 0.5 ，整数部分是 3 ，小数部分是 0.5 。
例如：-4.6 - (-5) = 0.4 ，整数部分是 -5 ，小数部分是 0.4 。

第4节 奇数、偶数的概念及运算性质​

概念​

  • 在整数范围内，能被 2 整除的数是偶数，不能被 2 整除的数是奇数。
  • 0 是偶数。
  • 偶数通常用 2n 表示，奇数用 2n ± 1 表示。

运算性质：（不用背，可以自己举例子试）​

  • 奇数 ± 奇数 = 偶数
  • 偶数 ± 偶数 = 奇数
  • 奇数 ± 偶数 = 奇数
  • 奇数 × 奇数 = 奇数
  • 偶数 × 偶数 = 偶数
  • 奇数 × 偶数 = 偶数

第5节 质数与合数​

在正整数范围内，按因数的个数进行分类。

  • 质数：只有 1 和它本身两个约数（因数）的正整数叫质数（素数）。
  • 最小的质数是 2 ，也是唯一的偶质数。
  • 30 以内的质数共 10 个：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29 。
  • 合数：除了 1 和它本身外还有其他约数（因数）的正整数，最小的合数是 4 .
  • 注意：1 既不是质数也不是合数。

第6节 公因数、公倍数与互质​

  • 因数：设 a 为一个正整数，m 为 a 的一个因数是指：a 能被正整数 m 除尽，如 a = 15，则 a = 3 × 5，所以 a 有因数 1、3、5、15 共 4 个。
  • 公因数：若正整数 m 同时是几个正整数 a、b、c、d 的因数，就称 m 是 a、b、c、d 的公因数，并把 a、b、c、d 的公因数中最大的称为最大公因数（最大公约数）。
  • 公倍数：若正整数 n 同时是几个正整数 a、b、c、d 的倍数，就称 n 是 a、b、c、d 的公倍数，并把 a、b、c、d 的公倍数中最小的称为最小公倍数。
  • 注意：求两个数的最大公因数和最小公倍数：短除法。
  • 定理：两个整数的乘积等于他们最大公因数和最小公倍数的乘积。
  • 互质：若正整数 m 与正整数 n 的公因数只有 1 ，就称这个两个正整数 m 与 n 互质。
  • 若 m 与 n 互质，则称 nm\frac{n}{m} 为既约分数（最简分数）。

短除法例子​

短除法求 12 和 18 的最大公因数以及最小公倍数。

最大公因数为左侧相乘：2 × 3 = 6 。
最小公倍数为左侧和下侧相乘：2 × 3 × 2 × 3 = 36 。

第7节 实数的运算​

实数的基本性质​

  1. 实数与数轴上的点一一对应。
  2. 若 a、b 是任意两个实数，则在 a < b 、 a = b 、 a > b 中有且只有一个关系成立。
  3. 若 a 是任意实数，则 a2a^2 ≥ 0 。

实数的运算​

实数的四则运算满足加法和乘法运算的交换律、结合律和分配律。还可以定义实数的乘方和开方运算。

  1. 乘方运算：ana^n = a ⋅ a ⋅⋅⋅ a ，n 个 a 相乘。
  • am⋅an=am+na^m ⋅ a^n = a^{m + n}
  • aman=am−n\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
  • (ab)n=an⋅bn(ab)^n = a^n ⋅ b^n
  • (ab)n=anbn(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}
  • (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}
  • a≠0a \ne 0 时，a0=1a^0 = 1，a−n=1ana^{-n} = \frac{1}{a^n}
  • 负实数的奇次幂为负数，负实数的偶次幂为正数。
  1. 开方运算：在实数范围内，负实数无偶次方根；0 的偶次方根是 0；正实数的偶次方根有两个，且互为相反数，其中正的偶次方根称为算术根。
  • 如：当 a > 0 时，a 的平方根是 ±a±\sqrt{a}，其中 a\sqrt{a} 是正实数 a 的算术平方根。
  • a = bnb^n   ⟺  \iff b = an\sqrt[n]{a} = a1na^{\frac{1}{n}}
  1. 开方运算在运算有意义的前提下：
  • anma^{\frac{n}{m}} = anm\sqrt[m]{a^n}
  • abn\sqrt[n]{ab} = an⋅bn\sqrt[n]{a} ⋅ \sqrt[n]{b}
  • abn\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = anbn\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}